백준 6588번 골드바흐의 추측 // C++

문제

 

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 "Goldbach's conjecture is wrong."을 출력한다.

 

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풀이

 

소수를 구하는 가장 빠른 방법은 에라토스테네스의 체를 이용하는 것이다.

 

이 문제는 에라토스테네스의 체를 이용하더라도 수의 최댓값이 1,000,000이므로 시간 초과가 엄청 잘 일어난다.

 

따라서 소수를 구할 때 신경을 많이 써야 한다.

 

코드를 보면서 설명을 하자면,

 

for (int i = 2; i * i < MAX; i++) {
		if (arr[i]) {
			for (int j = i * i; j < MAX; j += i) {
				arr[j] = false;
			}
		}
	}

 

i의 범위가 i * i < MAX인 이유는, 그 j를 사용한 for문에서 모든 처리가 가능하기 때문이다.

 

또한, arr[i]일때만 보는 이유는 소수가 아닌 경우에는 에라토스테네스의 체의 알고리즘에 의해 소수가 아닌 경우 살펴볼 필요가 없기 때문이다.

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코드

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

#define MAX 1000000

void findSosu();

bool arr[1000001];

int main() {
	int num;

	findSosu();

	while (true) {
		scanf("%d", &num);
		if (num == 0)
			break;

		bool check = false;

		for (int i = 3; i <= num / 2; i++) {
			if (arr[i] && arr[num - i]) {
				printf("%d = %d + %d\n", num, i, num - i);
				check = true;
				break;
			}
		}

		if (!check)
			printf("Goldbach's conjecture is wrong.\n");
	}

	return 0;
}

void findSosu() {
	memset(arr, true, sizeof(arr));

	arr[0] = arr[1] = false;

	for (int i = 2; i * i < MAX; i++) {
		if (arr[i]) {
			for (int j = i * i; j < MAX; j += i) {
				arr[j] = false;
			}
		}
	}
}